○方程（以禦錯糅正負）今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九鬥；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實三十四鬥；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實二十六鬥。問上、中、下禾實一秉各幾何？答曰：上禾一秉九鬥四分鬥之一。中禾一秉四鬥四分鬥之一。下禾一秉二鬥四分鬥之三。

方程〔程，課程也。群物總雜，各列有數，總言其實。令每行為率。二物者再程，三物者三程，皆如物數程之。並列為行，故謂之方程。行之左右無所同存，且為有所據而言耳。此都術也，以空言難曉，故特係之禾以決之。又列中、左行如右行也。〕術曰：置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九鬥於右方。中、左禾列如右方。以右行上禾遍乘中行，而以直除。

〔為術之意，令少行減多行，反複相減，則頭位必先盡。上無一位，則此行亦闕一物矣。然而舉率以相減，不害餘數之課也。若消去頭位，則下去一物之實。

如是疊令左右行相減，審其正負，則可得而知。先令右行上禾乘中行，為齊同之意。為齊同者，謂中行直減右行也。從簡易雖不言齊同，以齊同之意觀之，其義然矣。〕又乘其次，亦以直除。

〔複去左行首。〕然以中行中禾不盡者遍乘左行，而以直除。

〔亦令兩行相去行之中禾也。〕左方下禾不盡者，上為法，下為實。實即下禾之實。

〔上、中禾皆去，故餘數是下禾實，非但一秉。欲約眾秉之實，當以禾秉數為法。列此，以下禾之秉數乘兩行，以直除，則下禾之位皆決矣。各以其餘一位之秉除其下實。即計數矣用算繁而不省。所以別為法，約也。然猶不如自用其舊。

廣異法也。〕求中禾，以法乘中行下實，而除下禾之實。

〔此謂中兩禾實，下禾一秉實數先見，將中秉求中禾，其列實以減下實。而左方下禾雖去一，以法為母，於率不通。故先以法乘，其通而同之。俱令法為母，而除下禾實。以下禾先見之實令乘下禾秉數，即得下禾一位之列實。減於下實，則其數是中禾之實也。〕餘，如中禾秉數而一，即中禾之實。

〔餘，中禾一位之實也。故以一位秉數約之，乃得一秉之實也。〕求上禾，亦以法乘右行下實，而除下禾、中禾之實。

〔此右行三禾共實，合三位之實。故以二位秉數約之，乃得一秉之實。今中下禾之實其數並見，令乘右行之禾秉以減之。故亦如前各求列實，以減下實也。〕餘，如上禾秉數而一，即上禾之實。實皆如法，各得一鬥。

〔三實同用，不滿法者，以法命之。母、實皆當約之。〕今有上禾七秉，損實一鬥，益之下禾二秉，而實一十鬥；下禾八秉，益實一鬥，與上禾二秉，而實一十鬥。問上、下禾實一秉各幾何？答曰：上禾一秉實一鬥五十二分鬥之一十八。下禾一秉實五十二分鬥之四十一。

術曰：如方程。損之曰益，益之曰損。

〔問者之辭雖？今按：實雲上禾七秉，下禾二秉，實一十一鬥；上禾二秉，下禾八秉，實九鬥也。“損之曰益”，言損一鬥，餘當一十鬥；今欲全其實，當加所損也。“益之曰損”，言益實以一鬥，乃滿一十鬥；今欲知本實，當減所加，即得也。〕損實一鬥者，其實過一十鬥也；益實一鬥者，其實不滿一十鬥也。

〔重諭損益數者，各以損益之數損益之也。〕今有上禾二秉，中禾三秉，下禾四秉，實皆不滿鬥。上取中、中取下、下取上各一秉而實滿鬥。問上、中、下禾實一秉各幾何？答曰上禾一秉實二十五分鬥之九。中禾一秉實二十五分鬥之七。下禾一秉實二十五分鬥之四。

術曰：如方程。各置所取。

〔置上禾二秉為右行之上，中禾三秉為中行之中，下禾四秉為左行之下，所取一秉及實一鬥各從其位。諸行相借取之物皆依此例。〕以正負術入之。

正負術曰：〔今兩算得失相反，要令正負以名之。正算赤，負算黑，否則以邪正為異。

方程自有赤、黑相取，法、實數相推求之術。而其並減之勢不得廣通，故使赤、黑相消奪之，於算或減或益。同行異位殊為二品，各有並、減之差見於下焉。著此二條，特係之禾以成此二條之意。故赤、黑相雜足以定上下之程，減、益雖殊足以通左右之數，差、實雖分足以應同異之率。然則其正無入以負之，負無入以正之，其率不妄也。〕同名相除，〔此謂以赤除赤，以黑除黑，行求相減者，為去頭位也。然則頭位同名者，當用此條，頭位異名者，當用下條。〕異名相益，〔益行減行，當各以其類矣。其異名者，非其類也。非其類者，猶無對也，非所得減也。故赤用黑對則除，黑；無對則除，黑；黑用赤對則除，赤；無對則除，赤；赤黑並於本數。此為相益之，皆所以為消奪。消奪之與減益成一實也。

術本取要，必除行首。至於他位，不嫌多少，故或令相減，或令相並，理無同異而一也。〕正無入負之，負無入正之。

〔無入，為無對也。無所得減，則使消奪者居位也。其當以列實或減下實，而行中正負雜者亦用此條。此條者，同名減實，異名益實，正無入負之，負無入正之也。〕其異名相除，同名相益，正無入正之，負無入負之。

〔此條異名相除為例，故亦與上條互取。凡正負所以記其同異，使二品互相取而已矣。言負者未必負於少，言正者未必正於多。故每一行之中雖複赤黑異算無傷。然則可得使頭位常相與異名。此條之實兼通矣，遂以二條反覆一率。觀其每與上下互相取位，則隨算而言耳，猶一術也。又，本設諸行，欲因成數以相去耳。故其多少無限，令上下相命而已。若以正負相減，如數有舊增法者，每行可均之，不但數物左右之也。〕今有上禾五秉，損實一鬥一升，當下禾七秉；上禾七秉，損實二鬥五升，當下禾五秉。問上、下禾實一秉各幾何？答曰：上禾一秉五升。下禾一秉二升。

術曰：如方程。置上禾五秉正，下禾七秉負，損實一鬥一升正。

〔言上禾五秉之實多，減其一鬥一升，餘，是與下禾七秉相當數也。故互其算，令相折除，以一鬥一升為差。為差者，上禾之餘實也。〕次置上禾七秉正，下禾五秉負，損實二鬥五升正。以正負術入之。

〔按：正負之術，本設列行，物程之數不限多少，必令與實上下相次，而以每行各自為率。然而或減或益，同行異位，殊為二品，各自並、減，之差見於下也。〕今有上禾六秉，損實一鬥八升，當下禾一十秉；下禾一十五秉，損實五升，當上禾五秉。問上、下禾實一秉各幾何？答曰：上禾一秉實八升。下禾一秉實三升。

術曰：如方程。置上禾六秉正，下禾一十秉負，損實一鬥八升正。次，上禾五秉負，下禾一十五秉正，損實五升正。以正負術入之。

〔言上禾六秉之實多，減損其一鬥八升，餘是與下禾十秉相當之數。故亦互其算，而以一鬥八升為差實。差實者，上禾之餘實。〕今有上禾三秉，益實六鬥，當下禾一十秉；下禾五秉，益實一鬥，當上禾二秉。問上、下禾實一秉各幾何？答曰：上禾一秉實八鬥。下禾一秉實三鬥。

術曰：如方程。置上禾三秉正，下禾一十秉負，益實六鬥負。次置上禾二秉負，下禾五秉正，益實一鬥負。以正負術入之。

〔言上禾三秉之實少，益其六鬥，然後於下禾十秉相當也。故亦互其算，而以六鬥為差實。差實者，下禾之餘實。〕今有牛五，羊二，直金十兩；牛二，羊五，直金八兩。問牛、羊各直金幾何？答曰：牛一直金一兩二十一分兩之一十三。羊一直金二十一分兩之二十。

術曰：如方程。

〔假令為同齊，頭位為牛，當相乘。右行定，更置牛十，羊四，直金二十兩；左行：牛十，羊二十五，直金四十兩。牛數等同，金多二十兩者，羊差二十一使之然也。以少行減多行，則牛數盡，惟羊與直金之數見，可得而知也。以小推大，雖四五行不異也。〕今有賣牛二，羊五，以買一十三豕，有餘錢一千；賣牛三，豕三，以買九羊，錢適足；賣六羊，八豕，以買五牛，錢不足六百。問牛、羊、豕價各幾何？答曰牛價一千二百。羊價五百。豕價三百。

術曰：如方程。置牛二，羊五正，豕一十三負，餘錢數正；次，牛三正，羊九負，豕三正；次五牛負，六羊正，八豕正，不足錢負。以正負術入之。

〔此中行買、賣相折，錢適足，故但互買賣算而已。故下無錢直也。設欲以此行如方程法，先令二牛遍乘中行，而以右行直除之。是故終於下實虛缺矣。故注曰正無實負，負無實正，方為類也。方將以別實加適足之數與實物作實。

盈不足章“黃金白銀”與此相當。“假令黃金九，白銀一十一，稱之重適等。

交易其一，金輕十三兩。問金、銀一枚各重幾何？”與此同。〕今有五雀六燕，集稱之衡，雀俱重，燕俱輕。一雀一燕交而處，衡適平。並雀、燕重一斤。問雀、燕一枚各重幾何？答曰：雀重一兩一十九分兩之一十三。

燕重一兩一十九分兩之五。

術曰：如方程。交易質之，各重八兩。

〔此四雀一燕與一雀五燕衡適平，並重一斤，故各八兩。列兩行程數。左行頭位其數有一者，令右行遍除。亦可令於左行而取其法、實於左。左行數多，以右行取其數。左頭位減盡，中、下位算當燕與實。右行不動。左上空，中法，下實，即每枚當重宜可知也。按：此四雀一燕與一雀五燕其重等，是三雀、四燕重相當。雀率重四，燕率重三也。諸再程之率皆可異術求也，即其數也。〕今有甲、乙二人持錢不知其數。甲得乙半而錢五十，乙得甲太半而亦錢五十。

問甲、乙持錢各幾何？答曰：甲持三十七錢半。乙持二十五錢。

術曰：如方程。損益之。

〔此問者言一甲，半乙而五十；太半甲，一乙亦五十也。各以分母乘其全，內子。行定：二甲，一乙而錢一百；二甲，三乙而錢一百五十。於是乃如方程。

諸物有分者放此。〕今有二馬，一牛，價過一萬，如半馬之價；一馬，二牛，價不滿一萬，如半牛之價。問牛、馬價各幾何？答曰：馬價五千四百五十四錢一十一分錢之六。牛價一千八百一十八錢一十一分錢之二。

術曰：如方程。損益之。

〔此一馬半與一牛價直一萬也，二牛半與一馬亦直一萬也。一馬半與一牛直錢一萬，通分內子，右行為三馬，二牛，直錢二萬。二牛半與一馬直錢一萬，通分內子，左行為二馬，五牛，直錢二萬也。〕今有武馬一匹，中馬二匹，下馬三匹，皆載四十石至阪，皆不能上。武馬借中馬一匹，中馬借下馬一匹，下馬借武馬一匹，乃皆上。問武、中、下馬一匹各力引幾何？答曰：武馬一匹力引二十二石七分石之六。中馬一匹力引一十七石七分石之一。下馬一匹力引五石七分石之五。

術曰：如方程。各置所借，以正負術入之。

今有五家共井，甲二綆不足，如乙一綆。乙三綆不足，以丙一綆；丙四綆不足，以丁一綆；丁五綆不足，以戊一綆；戊六綆不足，以甲一綆。如各得所不足一綆，皆逮。問井深、綆長各幾何？答曰：井深七丈二尺一寸。甲綆長二丈六尺五寸。乙綆長一丈九尺一寸。丙綆長一丈四尺八寸。丁綆長一丈二尺九寸。戊綆長七尺六寸。

術曰：如方程。以正負術入之。

〔此率初如方程為之，名各一逮井。其後，法得七百二十一，實七十六，是為七百二十一綆而七十六逮井，並用逮之數。以法除實者，而戊一綆逮井之數定，逮七百二十一分之七十六。是故七百二十一為井深，七十六為戊綆之長，舉率以言之。〕今有白禾二步，青禾三步，黃禾四步，黑禾五步，實各不滿鬥。白取青、黃，青取黃、黑，黃取黑、白，黑取白、青，各一步，而實滿鬥。問白、青、黃、黑禾實一步各幾何？答曰：白禾一步實一百一十一分鬥之三十三。青禾一步實一百一十一分鬥之二十八。黃禾一步實一百一十一分鬥之一十七。黑禾一步實一百一十一分鬥之一十。

術曰：如方程。各置所取，以正負術入之。

今有甲禾二秉，乙禾三秉，丙禾四秉，重皆過於石。甲二重如乙一，乙三重如丙一，丙四重如甲一。問甲、乙、丙禾一秉各重幾何？答曰：甲禾一秉重二十三分石之一十七。乙禾一秉重二十三分石之一十一。丙禾一秉重二十三分石之一十。

術曰：如方程。置重過於石之物為負。

〔此問者言甲禾二秉之重過於一石也。其過者何雲？如乙一秉重矣。互其算，令相折除，而一以石為之差實。差實者，如甲禾餘實。故置算相與同也。〕以正負術入之。

〔此入，頭位異名相除者，正無入正之，負無入負之也。〕今有令一人，吏五人，從者一十人，食雞一十；令一十人，吏一人，從者五人，食雞八；令五人，吏一十人，從者一人，食雞六。問令、吏、從者食雞各幾何？答曰令一人食一百二十二分雞之四十五。吏一人食一百二十二分雞之四十一。

從者一人食一百二十二分雞之九十七。

術曰：如方程。以正負術入之。

今有五羊，四犬，三雞，二兔，直錢一千四百九十六；四羊，二犬，六雞，三兔，直錢一千一百七十五；三羊，一犬，七雞，五兔，直錢九百五十八；二羊，三犬，五雞，一兔，直錢八百六十一。問羊、犬、雞、兔價各幾何？答曰：羊價一百七十七。犬價一百二十一。雞價二十三。兔價二十九。

術曰：如方程。以正負術入之。

今有麻九鬥，麥七鬥，菽三鬥，荅二鬥，黍五鬥，直錢一百四十；麻七鬥，麥六鬥，菽四鬥，荅五鬥，黍三鬥，直錢一百二十八；麻三鬥，麥五鬥，菽七鬥，荅六鬥，黍四鬥，直錢一百一十六；麻二鬥，麥五鬥，菽三鬥，荅九鬥，黍四鬥，直錢一百一十二；麻一鬥，麥三鬥，菽二鬥，荅八鬥，黍五鬥，直錢九十五。問一鬥直幾何？荅曰：麻一鬥七錢。麥一鬥四錢。菽一鬥三錢。荅一鬥五錢。黍一鬥六錢。

術曰：如方程。以正負術入之。

〔此麻麥與均輸、少廣之章重衰、積分皆為大事。其拙於精理徒按本術者，或用算而布氈，方好煩而喜誤，曾不知其非，反欲以多為貴。故其算也，莫不暗於設通而專於一端。至於此類，苟務其成，然或失之，不可謂要約。更有異術者，庖丁解牛，遊刃理間，故能曆久其刃如新。夫數，猶刃也，易簡用之則動中庖丁之理。故能和神愛刃，速而寡尤。凡九章為大事，按法皆不盡一百算也。雖布算不多，然足以算多。世人多以方程為難，或盡布算之象在綴正負而已，未暇以論其設動無方，斯膠柱調瑟之類。聊複恢演，為作新術，著之於此，將亦啟導疑意。

網羅道精，豈傳之空言？記其施用之例，著策之數，每舉一隅焉。

方程新術曰：以正負術入之。令左、右相減，先去下實，又轉去物位，則其求一行二物正負相借者，是其相當之率。又令二物與他行互相去取，轉其二物相借之數，即皆相當之率也。各據二物相當之率，對易其數，即各當之率也。更置成行及其下實，各以其物本率今有之，求其所同。並，以為法。其當相並而行中正負雜者，同名相從，異名相消，餘，以為法。以下置為實。實如法，即合所問也。一物各以本率今有之，即皆合所問也。率不通者，齊之。

其一術曰：置群物通率為列衰。更置成行群物之數，各以其率乘之，並，以為法。其當相並而行中正負雜者，同名相從，異名相消，餘為法。以成行下實乘列衰，各自為實。實如法而一，即得。

以舊術為之。凡應置五行。今欲要約，先置第三行，減以第四行，又減第五行；次置第二行，以第二行減第一行，又減第四行。去其頭位；餘，可半；次置右行及第二行。去其頭位；次以右行去第四行頭位，次以左行去第二行頭位，次以第五行去第一行頭位；次以第二行去第四行頭位；餘，可半；以右行去第二行頭位，以第二行去第四行頭位。餘，約之為法、實。實如法而一，得六，即有黍價。以法治第二行，得荅價，右行得菽價，左行得麥價，第三行麻價。如此凡用七十七算。

以新術為此。先以第四行減第三行；次以第三行去右行及第二行、第四行下位，又以減左行下位，不足減乃止；次以左行減第三行下位，次以第三行去左行下位。訖，廢去第三行。次以第四行去左行下位，又以減右行下位；次以右行去第二行及第四行下位；次以第二行減第四行及左行頭位；次以第四行減左行菽位，不足減乃止；次以左行減第二行頭位，餘，可再半；次以第四行去左行及第二行頭位，次以第二行去左行頭位，餘，約之，上得五，下得三，是菽五當荅；次以左行去第二行菽位，又以減第四行及右行菽位，不足減乃止；次以右行減第二行頭位，不足減乃止；次以第二行去右行頭位，次以左行去右行頭位；餘，上得六，下得五，是為荅六當黍五；次以左行去右行荅位，餘，約之，上為二，下為一；次以右行去第二行下位，以第二行去第四行下位，又以減左行下位；次，左行去第二行下位，餘，上得三，下得四，是為麥三當菽四；次以第二行減第四行下位；次以第四行去第二行下位；餘，上得四，下得七，是為麻四當麥七。是為相當之率舉矣。據麻四當麥七，即麻價率七而麥價率四；又麥三當菽四，即為麥價率四而菽價率三；又菽五當荅三，即為菽價率三而荅價率五；又荅六當黍五，即為荅價率五而黍價率六；而率通矣。更置第三行，以第四行減之，餘有麻一鬥，菽四鬥正，荅三鬥負，下實四正。求其同為麻之數，以菽率三、荅率五各乘其鬥數，如麻率七而一，菽得一鬥七分鬥之五正，荅得二鬥七分鬥之一負。則菽、荅化為麻。以並之，令同名相從，異名相消，餘得定麻七分鬥之四，以為法。置四為實，而分母乘之，實得二十八，而分子化為法矣以法除得七，即麻一鬥之價。置麥率四、菽率三、荅率五、黍率六，皆以麻乘之，各自為實。以麻率七為法。所得即各為價。亦可使置本行實與物同通之，各以本率今有之，求其本率所得。並，以為法。如此，即無正負之異矣，擇異同而已。又可以一術為之。置五行通率，為麻七、麥四、菽三、荅五、黍六，以為列衰。成行麻一鬥，菽四鬥正，荅三鬥負，各以其率乘之。訖，令同名相從，異名相消，餘為法。又置下實乘列衰，所得各為實。此可以置約法，則不複乘列衰，各以列衰為價。如此則凡用一百二十四算也。〕